On se donne \(q\in{\Bbb Q},n\in{\Bbb N}^*\) et une matrice \(A\in S_n({\Bbb Q})\) telle que \(A^2=q I_n\)
Construire une matrice \(B\in S_{2n}({\Bbb Q})\) commutant à la matrice \(\begin{pmatrix} A&0\\ 0&A\end{pmatrix}\) et telle que \(B^2=(q+1)Id_{2n}\)

$$B=\begin{pmatrix} A&1\\ 1&-A\end{pmatrix}$$ \(\to\) vérifier

Pour tout \(d\geqslant1\), il existe \(n\in{\Bbb N}^*\) et des matrices \(M_1,\ldots,M_d\in S_n({\Bbb Q})\) qui commutent deux à deux et telles que \(M^2_k=kI_n\) pour tout entier \(1\leqslant k\leqslant d\)
Doit \(d\geqslant1\) un entier. En déduire que si \(q_1,\ldots,q_d\in{\Bbb Q},q_i\gt 0\), alors il existe \(n\in{\Bbb N}^*\) et des matrices \(M_1,\ldots,M_d\in S_n({\Bbb Q})\) qui commutent deux à deux et telles que \(M_i^2=q_iI_n\) pour tout \(1\leqslant i\leqslant d\)

Donner le polynôme minimal
Puisque \(q_i\in{\Bbb Q}\), on a \(q_i=\frac{a_i}{b_i}\) avec \(a_i\gt 0\)
Si \(M^2=a_iI_n\), alors le polynôme minimal de \(M\) est : $$X^2-a_i=0$$

En déduire l'inverse de \(M\)
Et donc $$M^{-1}M^2=a_iM^{-1}\implies M^{-1}=\frac1{a_i}M$$

Fixons \(n\) assez grand tel qu'il existe des matrices \(M_1^\prime,\ldots,M^\prime_D\) qui commutent deux à deux dans \(M_n({\Bbb Q})\) avec $$D\gt \max_{1\leqslant i,1\leqslant d}(a_i,b_i)$$ en particulier, on a \(2d\) matrices \(M^{\prime\prime}_1,\ldots,M^{\prime\prime}_d,M^{\prime\prime\prime}_1,\ldots,M^{\prime\prime\prime}_d\) telles que $$(m_i^{\prime\prime})^2=a_iI_n\quad\text{ et }\quad(m_i^{\prime\prime\prime})=b_iI_i$$

Posons \(M_i=M^{\prime\prime}_i(M^{\prime\prime\prime}_i)^{-1}\)
On a alors $$M_i^2=\frac{a_i}{b_i}I_n$$ par la discussion précédente